数値解析：大きさの測定：ベクトルと行列のノルム

反復的な行列代数では、ベクトルや行列の「大きさ」を正確に測定するための厳密な数学的枠組みが必要です。これらの指標により、近似解が真の解に近づいているかどうかを判断できます。ベクトルおよび行列のノルムは、高次元配列を非負の実数にマッピングし、誤差を制限し収束を保証する特定の代数的性質を維持します。

ノルムの公理的基盤

定義 7.1：ベクトルノルム

$\mathbb{R}^n$ 上のベクトルノルム $\|\cdot\|$ は以下の4つの条件を満たす必要があります：

非負性： $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
定義性： $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
絶対斉次性： $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
三角不等式： $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$

主要な尺度：$l_2$ と $l_\infty$

定義 7.2によると、 定義 7.2数値解析において最も重要なノルムは次の通りです：

ユークリッドノルム（$l_2$）： $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$。幾何学的には原点からの最短距離です。
最大ノルム（$l_\infty$）： $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$。これは単一の最大成分の大きさを捉えます。

これらの定義により、正確な解 $\mathbf{x}$ と近似解 $\mathbf{y}$ の間の距離を $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$（定義 7.4）として定義できます。

行列ノルムと誘導された拡大

行列ノルムは第5の「部分乗法性」の性質（定義 7.8）を追加します：$\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$。

定理 7.11：最大行和

$n \times n$ 行列 $A$ に対して、自然な $l_\infty$ ノルムは各行の絶対値の和の最大値として計算されます： $$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$

実例：ベクトルと行列の計算

$\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ および $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ を考えます。

ベクトルノルム

$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$。
$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$。

行列の $l_\infty$ ノルム

行1：$|1|+|2|+|-1|=4$
行2：$|0|+|3|+|-1|=4$
行3：$|5|+|-1|+|1|=7$
結果：$\|A\|_\infty = 7$。

🎯 核心原則

ノルムによって大きさの「形状」が異なるものの、 定理 7.7 等価性が保証されています：$l_\infty$ ノルムでの収束は $l_2$ ノルムでの収束を意味し、逆もまた然りです。

$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$

問題 1

行列ノルム（定義 7.8）と標準的なベクトルノルムの違いを示す性質はどれですか？

絶対斉次性：||αA|| = |α| ||A||

部分乗法性：||AB|| ≤ ||A|| ||B||

三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||

非負性：||A|| ≥ 0

問題 2

ベクトル $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ の $l_\infty$ ノルムを計算してください。

√6

問題 3

3×3 行列 $A$ について、各行の絶対値の和がそれぞれ 4, 4, 7 の場合、||A||∞ はいくらですか？

問題 4

コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツ不等式（定理 7.3）によると、ベクトル $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ に対して成り立つのはどれですか？

Σ x_i y_i ≤ ||x||₂ ||y||₂

Σ x_i y_i ≤ ||x||∞ ||y||∞

||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂

||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

問題 5

ℝ⁴ 内のベクトルの $l_\infty$ ノルムが 3 の場合、定理 7.7 によればその $l_2$ ノルムの最も緊密な上界はどれですか？

√3

挑戦：収束と誤差の上限

行列ノルム分析

反復法により、正確な解が $\mathbf{x} = (1, 1, 1)^t$ のシステムに対する近似解 $\mathbf{\tilde{x}} = (1.2001, 0.99991, 0.92538)^t$ が得られます。さらに、行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 7 \end{bmatrix}$ が、$C^{-1} = D^{-1/2}$ という前処理の文脈で使用されているものとします。

問1

正確な解と近似解との間の $l_2$ および $l_\infty$ ノルムの距離を決定してください。

解答：
1. 誤差ベクトル $\mathbf{e} = \mathbf{x} - \mathbf{\tilde{x}} = (-0.2001, 0.00009, 0.07462)^t$ を定義します。
2. $\|\mathbf{e}\|_\infty = \max(|-0.2001|, |0.00009|, |0.07462|) = 0.2001$。
3. $\|\mathbf{e}\|_2 = \sqrt{(-0.2001)^2 + (0.00009)^2 + (0.07462)^2} \approx \sqrt{0.04004 + 0 + 0.00557} \approx 0.2136$。

問2

行列 $A$ の $l_\infty$ ノルムを計算し、$D^{-1/2}$ によるスケーリングがノルムに与える影響を説明してください。

解答：
1. 行和：$A$ の行1：$|3|+|-1|+|1|=5$；行2：$|3|+|6|+|2|=11$；行3：$|3|+|3|+|7|=13$。したがって $\|A\|_\infty = 13$。
2. $D = \text{diag}(3, 6, 7)$ に対して $D^{-1/2}$ でスケーリングすると、新しい行列 $A' = D^{-1/2}A$ が得られます。各行 $i$ は $\sqrt{a_{ii}}$ で割られます。これによりノルムは一般に減少し、対角要素が $\sqrt{a_{ii}}$ になり、反復法における異なる方程式の影響をバランスさせる傾向があります。

問3

関数 $\| \mathbf{x} \|_{1} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$ が三角不等式の公理を満たすかどうかを検証してください。

証明：
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ とします。
$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|$。
スカラーの三角不等式により、各 $i$ に対して $|x_i + y_i| \leq |x_i| + |y_i|$ が成り立ちます。
すべての $i$ について和を取ると：$\sum |x_i + y_i| \leq \sum (|x_i| + |y_i|) = \sum |x_i| + \sum |y_i|$。
したがって、$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 \leq \| \mathbf{x} \|_1 + \| \mathbf{y} \|_1$。公理は満たされています。